Dalam menyelesaikan soal Olimpiade ataupun soal Kompetisi Matematika , baik itu tingkat Kabupaten (OSK) sekarang KSN-K ( Kompetisi Sains Nasional-Kabupaten ), tingkat Provinsi, Nasioanl ataupun Internasional memerlukan Strategi Penyelesaian Masalah ( Problem Solving Strategies ) hal ini sangat diperlukan mengingat soal olimpiade merupakan soal tingkat tinggi yang memerlukan daya nalar yang tinggi sehingga memerlukan strategi yang khusus untuk menjawab soal tersebut. berikut saya uraikan beberapa strategi penyelesaian masalah dalam olimpiade matematika.
Maksudnya adalah dalam menjawab soal kita bisa membuat dan mengurutkan daftar secara teratur, hal ini diperlukan dalam menjawab soal olimpiade yang mengarah pada jumlah atau banyaknya penyelesaian atau banyaknya kemungkinan jawaban dari soal tertentu.
Berikut Contoh soal olimpiade yang memerlukan cara menjawab dengan mengurutkan daftar yang teratu
(OSP 2009) Tiga dadu berwarna hitam, merah, dan putih dilempar bersama-sama. Macam hasil lemparan sehingga jumlah ketiga mata dadu adalah 8 sebanyak ……
Solusi :
Misalkan (a, b, c) menyatakan mata dadu hitam adalah a, mata dadu merah adalah b dan mata dadu putih adalah c. Semua kemungkinan yang muncul adalah (1,1,6), (1,2,5), (1,3,4), (1,4,3), (1,5,2), (1,6,1), (2,1,5), (2,2,4), (2,3,3), (2,4,2), (2,5,1), (3,1,4), (3,2,3), (3,3,2), (3,4,1), (4,1,3), (4,2,2), (4,3,1), (5,1,2,), (5,2,1), (6,1,1).
Macam lemparan ada sebanyak 21.
(OSP 2006) Sebuah himpunan tiga bilangan asli disebut himpunan aritmatika jika salah satu unsurnya merupakan rata-rata dari dua unsur lainnya. Banyaknya subhimpunan aritmatika dari {1,2,3,….,8} adalah …..
Solusi :
Dengan mendaftar akan didapat (1,2,3), (1,3,5), (1,4,7), (2,3,4), (2,4,6), (2,5,8), (3,4,5), (3,5,7), (4,5,6), (4,6,8), (5,6,7), (6,7,8). sebanyak 12 subhimpunan yang memenuhi.
(OSP 2011) Banyak bilangan tiga digit yang semua digit-digitnya berbeda dan digit terakhirnya merupakan hasil penjumlahan dari dua digit yang lainnya adalah …..
Solusi :
(1,2,3), (1,3,4), (1,4,5), (1,5,6), (1,6,7), (1,7,8), (1,8,9), (2,1,3), (2,3,5), (2,4,6), (2,5,7), (2,6,8), (2,7,9), (3,1,4), (3,2,5), (3,4,7), (3,5,8), (3,6,9), (4,1,5), (4,2,6), (4,3,7), (4,5,9), (5,1,6), (5,2,7), (5,3,8), (5,4,9), (6,1,7), (6,2,8), (6,3,9), (7,1,8), (7,2,9), (8,1,9).
Banyaknya bilangan ada sebanyak 32.
(OSK 2016) Misalkan 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓 adalah sebarang pengurutan dari (1,2,3,4,5,6). Banyaknya pengurutan sehingga 𝑎+𝑐+𝑒>𝑏+𝑑+𝑓 adalah …..
Solusi :
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 Maka a + c + e > 11 Maka tripel (a, c, e) yang memenuhi adalah (1,4,6), (1,5,6), (2,3,6), (2,4,5), (2,4,6), (2,5,6), (3,4,5), (3,4,6), (3,5,6), (4,5,6) ada sebanyak 10. (a,c,e) dan (b,d,f) dapat dipermutasikan. Banyaknya pengurutan sehingga 𝑎+𝑐+𝑒>𝑏+𝑑+𝑓 = 10 x 3! x 3! = 360. Jadi, banyak pengurutan sehingga 𝑎+𝑐+𝑒>𝑏+𝑑+𝑓 adalah 360.
(OSP 2003) Berapakah banyaknya cara memilih tiga bilangan berbeda sehingga tidak ada dua bilangan yang berurutan, jika bilangan-bilangan tersebut dipilih dari himpunan {1, 2, 3, ….., 9, 10 } ?
Solusi :
Dengan cara mendaftar kita dapatkan 3 bilangan yang dipilih adalah :
(1,3,5), (1,3,6), (1,3,7), (1,3,8), (1,3,9), (1,3,10), (1,4,6), (1,4,7), (1,4,8), (1,4,9), (1,4,10), (1,5,7), (1,5,8), (1,5,9), (1,5,10), (1,6,8), (1,6,9), (1,6,10), (1,7,9), (1,7,10), (1,8,10), (2,4,6), (2,4,7), (2,4,8), (2,4,9), (2,4,10), (2,5,7), (2,5,8), (2,5,9), (2,5,10), (2,6,8), (2,6,9), (2,6,10), (2,7,9), (2,7,10), (2,8,10), (3,5,7), (3,5,8), (3,5,9), (3,5,10), (3,6,8), (3,6,9), (3,6,10), (3,7,9), (3,7,10), (3,8,10), (4,6,8), (4,6,9), (4,6,10), (4,7,9), (4,7,10), (4,8,10), (5,7,9), (5,7,10), (5,8,10), (6,8,10).
Banyaknya cara = 56.
(OSP 2005) Di dalam sebuah kotak terdapat 4 bola yang masing-masing bernomor 1, 2, 3 dan 4. Anggi mengambil bola secara acak, mencatat nomornya, dan mengembalikannya ke dalam kotak. Hal yang sama ia lakukan sebanyak 4 kali. Misalkan jumlah dari keempat nomor bola yang terambil adalah 12. Berapakah peluang bola yang terambil selalu bernomor 3 ?
Solusi :
Setelah didaftar didapat (1,3,4,4), (1,4,3,4), (1,4,4,3), (2,2,4,4), (2,3,3,4), (2,3,4,3), (2,4,2,4), (2,4,3,3), (2,4,4,2), (3,1,4,4), (3,2,3,4), (3,2,4,3), (3,3,2,4), (3,3,3,3), (3,3,4,2), (3,4,1,4), (3,4,2,3), (3,4,3,2), (3,4,4,1), (4,1,3,4), (4,1,4,3), (4,2,2,4), (4,2,3,3), (4,2,4,2), (4,3,1,4), (4,3,2,3), (4,3,3,2), (4,3,4,1), (4,4,1,3), (4,4,2,2), (4,4,3,1) Banyaknya kemungkinan jumlah mata dadu adalah 31 dengan munculnya bola yang terambil selalu tiga sebanyak 1 kali. Peluang kejadian = 1/31.
(OSP 2013) Bilangan asli n dikatakan “cantik” jika n terdiri dari 3 digit berbeda atau lebih dan digit-digit penyusunnya tersebut membentuk barisan aritmatika atau barisan geometri. Sebagai contoh 123 bilangan cantik karena 1, 2, 3 membentuk barisan aritmatika. Banyak bilangan cantik adalah ……
Solusi :
Jika abc adalah bilangan cantik maka cba juga bilangan cantik kecuali a atau c sama dengan 0.
Maka cukup dengan membuat daftar bilangan cantik dengan a < b.
Bilangan-bilangan cantik dengan a < b adalah 123, 1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678, 123456789, 124, 1248, 135, 1357, 13579, 139, 147, 159, 234, 2345, 23456, 234567, 2345678, 23456789, 246, 2468, 248, 258, 345, 3456, 34567, 345678, 3456789, 357, 3579, 369, 456, 4567, 45678, 456789, 468, 469, 567, 5678, 56789, 579, 678, 6789, 789 yang banyaknya ada 46.
Jika angka terakhir bilangan cantik sama dengan 0 maka bilangan-bilangan cantik tersebut adalah 210, 3210, 43210, 543210, 6543210, 76543210, 876543210, 9876543210, 420, 6420, 86420, 630, 9630, 840 yang banyaknya ada 14.
Maka banyaknya bilangan cantik = 46 x 2 + 14 = 106.
Jadi, banyaknya bilangan cantik ada 106.
2. Memisalkan dengan Suatu Variabel
Memisalkan dengan Suatu Variabel lebih memudahkan kita untuk menjawab soal, memisalkan bisa menggunakn huruf x,y,p,q atau simbol lainnya, intinya memudahkan dalam menjawab
Berikut Contoh Soal Yang mengarah pada memisalkan dengan suatu Variabel
(OSK 2003) Hari ini usiaku 1/3 kali usia ayahku. Lima tahun yang lalu, usiaku 1/4 kali usia ayahku pada waktu itu. Berapakah usiaku sekarang ?
Solusi :
Misal usiaku saat ini = X dan usia ayahku saat ini = Y,
maka : X = Y/3 dan
X - 5 = (Y - 5)/4.
X - 5 = (3X - 5)/4
4X - 20 = 3X - 5
X = 15
Usiaku saat ini 15 tahun
(OSK
2003) Misalkan bahwa f(x)
= x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + c dan
bahwa f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = f(5).
Berapakah
nilai a ?
Solusi
:
Misal f(1) = f(2) = f(3) = f(4) =
f(5) = k
Dibentuk persamaan polinomial :
g(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2
+ dx + c - k
g(x) = f(x) - k
Jelas bahwa g(1) = g(2) = g(3) =
g(4) = g(5) = 0
Berarti bahwa 1; 2; 3; 4 dan 5
adalah akar-akar persamaan polinomial g(x) = 0.
x5
+ ax4 + bx3 + cx2 + dx + c - k = 0
x1 + x2 + x3
+ x4 + x5 = -a
Karena akar-akarnya adalah 1; 2; 3;
4 dan 5 maka :
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = - a
a = - 15
Dua lilin yang sama panjang dinyalakan pada jam sama. Lilin pertama akan habis seluruhnya 4 jam kemudian sedangkan lilin kedua akan habis seluruhnya 40 menit setelah lilin pertama habis seluruhnya. Jika kedua lilin dinyalakan pada pukul 20.16, pada jam berapakah panjang salah satu lilin tiga kali lilin yang lain ? Anggap pelelahan lilin terjadi secara linier.
Solusi :
4 jam = 240 menit
Missal panjang masing-masing lilin = h, maka
Panjang salah satu lilin sama dengan 3 kali panjang lilin yang lainnya terjadi pada 24.00
(OSK 2011) Ada berapa banyak bilangan bulat positif berlambang “abcde” dengan a < b ≤ c < d < e ?
Solusi :
Jelas bahwa syarat yang harus dipenuhi adalah 1 ≤ a < b ≤ c < d < e ≤9
Misalkan k = c + 1 dan m = d + 1 serta n = e + 1 maka ketaksamaan akan berlaku
1 ≤ a < b < k < m < n ≤10
Maka persoalannya akan menjadi setara dengan memilih 5 kemungkinan dari 10 kemungkinan yang ada.
Banyaknya cara = 10C5 = 252.
(OSP 2002) Ada berapa banyakkah bilangan 4-angka berbentuk 𝑎𝑏𝑐𝑑 dengan a ≤ b ≤ c ≤ d ?
Solusi
:
Misalkan, k = b + 1 dan m = c + 2 serta n = d + 3 maka
a < k < m < n
dengan syarat, a ≥ 1 dan
n ≤12.
Banyaknya bilangan 4-angka
yang terbentuk = 12C4 = 495.
(OSP 2010) Bilangan enam digit 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓
dengan a > b > c ≥ d > e > f
ada sebanyak …..
Solusi
:
Misalkan k = d - 1 dan m = e - 1 serta n = f - 1 maka
a > b > c > k > m > n dengan syarat n ≥ 1
dan a 
9.
Banyaknya bilangan 4-angka
yang terbentuk = 11C6 = 462.
(OSP 2003) Berapakah banyaknya cara memilih tiga bilangan berbeda
sehingga tidak ada dua bilangan yang berurutan, jika bilangan-bilangan tersebut
dipilih dari himpunan {1, 2, 3, …., 9, 10 } ?
Solusi :
Misalkan bilangan
yang memenuhi tersebut adalah a, b, c dengan a < b < c dengan syarat
selisih dua bilangan berurutan minimal 2. Misalkan juga k = b
- 1 dan m = c - 2 maka a < k < m
dengan syarat a ≥ 1 dan m ≤ 8.Banyaknya cara memilih 3
bilangan adalah 8C3 = 56.
3. Membagi Kasus
pada dasarnya membagi kasus memudahkan kita untuk menganalisis permasalahan sehingga soal dapat diselesaikan secara bertahap namun tepat.
berikut contohnya
(OSK 2004) Delegasi Indonesia ke suatu pertemuan pemuda internasional terdiri dari 5 orang. Ada 7 orang pria dan 5 orang wanita yang mencalonkan diri untuk menjadi anggota delegasi. Jika dipersyaratkan bahwa paling sedikit seorang anggota itu harus wanita, banyaknya cara memilih anggota delegasi adalah …
Solusi :
Susunan delegasi
yang mungkin adalah 4 pria dan 1 wanita atau 3 pria dan 2 wanita atau 2 pria
dan 3 wanita atau 1 pria dan 4 wanita atau 5 wanita .
Banyaknya cara
memilih anggota delegasi = 7C4 . 5C1 + 7C3
. 5C2 + 7C2 . 5C3 + 7C1
. 5C4 + 7C0 . 5C5
Banyaknya cara
memilih anggota delegasi = 35 . 5 + 35 . 10 + 21
. 10 + 7 . 5 + 1 . 1
Banyaknya cara
memilih anggota delegasi = 175 + 350 + 210 + 35 + 1 = 771 cara.
Banyaknya cara memilih
anggota delegasi ada 771.
(OSK 2013) Suatu dadu ditos enam kali. Banyak cara memperoleh jumlah mata yang muncul 28 dengan tepat satu dadu muncul 6 adalah ….
Solusi : Semua kemungkinan susunan jumlah mata
dadu 28 dengan angka 6 muncul tepat sekali adalah :
(OSK 2013) Enam orang siswa akan duduk pada tiga meja bundar, dimana setiap meja akan diduduki oleh minimal satu siswa. Banyaknya cara untuk melakukan hal tersebut adalah ……
BERSAMBUNG YA,,,,
TUNGGU TULISAN BERIKUTNYA
0 komentar:
Post a Comment